Paul Erdős(폴 에어디쉬)의 소수 개수가 무한임을 증명한 내용.

폴 에어디쉬는  책 <우리 수학자 모두 약간 미친겁니다>에서 소개된 천재적인 수학자이다. 말 그대로 일평생을 수학밖에 모르고 지낸 사람이다. 수학에 관심이 있는 분들은 이 책을 읽어봤으면 좋겠다. 여기서 그가 증명한 내용은 이 책에 있는 내용이 아니라 <오일러 상수 감마>라는 책에서 봤던 내용이다. 멋있어서 소개하고자 한다. 

2,851,875란 수를 소인수 분해하면 아래와 같이 된다.

위를 보면 어떤 소수(p)가 2번 이상 곱해져 있을 때 짝수(2k)번 곱해 지면  로 나타내고 홀수(2k+1)번 곱해져 있으면 로 나타낸다. 그렇게 혼자 남겨진 소수와 지수r가 2인 를 따로 모두 모은다.  그래서 어떤 수 N을 위와 같은 방법으로 나타내면 다음과 같다. 

여기서 

,     

여기서 제곱이 아닌 소인수분해를 택하는 방법은 2^n가지가 있다. 

이를 통해 N보다 작거나 같은 정수들을 만들 방법의 수가 최고    가지이다.

(왜냐하면 제곱이 아닌  소인수 분해를 택하는 방법은 2^n 가지이고, m을 택하는 최고 방법의 수가 가지이기 때문이다.)

그렇게 되면  이다. 

(이 부분에서는 저의 수학적인 논리가 많이 부족하기 때문에 예를 들어 증명하겠습니다. 참고로 어떤 수보다 작은 소수의 개수를 구하는 pi 함수라는 것이 있습니다. 저의 수학 실력으로는 도저히 이해할 수 없습니다. 관심 있으시면 참고 바랍니다. 

 

예) 5라는 수를 예로 들면 5보다 작거나 같은 소수는 2,3,5로 총 3개가 있다. N=5, n=3으로 하면 위의 부등식이 성립함을 할 수 있습니다.  

그래서 위의 부등식을 정리하면 

여기서 어떤 수 N을 정하는 방법에 있어서 제한이 없기 때문에 N은 무한대이다. 그래서  n도 항상 무한대이다.  그러므로 소수의 개수는 무한대이다. 

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유클리드가 사용한 증명 

 가장 큰 소수가 pn 이라고 했을 때 

A = p1 x p2 x p3 .............x pn 이라고 하면  A+1도 소수가 되게 된다. 그리고 이 값은 pn보다 커지게 된다. 그래서 pn이 가장 큰 소수라고 한 가정을 잘못됐다. 그래서 소수의 개수는 무한대이다.

* <리만 가설> 이라는 책도 한 번 읽어보세요~^^